[일반물리] 일차원 등가속도 운동

본 글에선 일차원 등가속도 운동의 관계를 기술하고 두가지 예제 문제를 풀어보도록 한다.

등가속도 운동은 말 그대로 가속도가 일정한 운동이므로 이 운동 모델에서 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

v(t)=v_i+at \\
\text{(a는 상수, $v_i$는 초기속도)} \\
\text{따라서 이동한 거리는 s(t)는 다음과 같다.} \\

s(t)=\int_{0}^{t} v(t)dt \\
\begin{aligned} 
&= \int_0^t v_i dt +\int_0^t atdt \quad \text{(s(0)는 초기 위치)} \\
&=v_i t + \frac{1}{2}at^2+C \\
\end{aligned} \\
s(0)=c \\,\text{이므로} \\
therefore \\
s(t)=v_i t + \frac{1}{2}at^2+s(0)

상기의 도출된 일차원 등가속도 운동식을 통해 다음의 문제들을 해결해보려한다.

Q1.

위 그림에서 x와 y는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

x=L\cos\theta,\\
t=L\sin\theta \\
\text{물체 A와 B의 각각의 속도는 다음과 같다.} \\
\begin{aligned} 
v&=\frac{d}{dt}L\cos\theta 
&= -L\sin\theta \\
v_A&=\frac{d}{dt}L\sin\theta &= L\cos\theta
\end{aligned} \\
\text{위 식에 따라 두 물체의 속도는 $\degree{45}$ 지점을 제외하고 다르다.}

또 다른 문제로 '갈릴레이의 모순' 문제들 중 하나를 풀어보려 한다. 물체 A와 물체 B가 원 위의 레일 위에서 어떠한 저항력이나 마찰력 없이 동시에 떨어진다고 가정한다. 물체 A는 지면과 수직위로 원의 지름 높이에서 떨어지고, 물체 B는 지면과 θ 만큼의 각을 이루는 높이에 있다.

두 물체는 위의 가정된 상황에서 둘다 동시에 지면과 원의 접점 위치에 다다른다.

예를 들어 원의 지름이 L이라고 하면, A는 L만큼을 B는 $ L\sin\theta $만큼을 이동하게 된다. 따라서

\begin{aligned} 
L&=\frac{1}{2}gt_a ^2 \\
L\sin\theta&=\frac{1}{2}at_b ^2 + v_i t_b \\
\end{aligned} \\
\text{이때 $v_i=0$ 이고 위의 두식에서 각각 $t_a$와 $t_b$를 구해보면} \\
\begin{aligned} 
t_a &= \sqrt{\frac{2L}{g}} \\
t_b&=\sqrt{\dfrac{2L\sin\theta}{a}} \\
\end{aligned}
\text{이때 $a=g\sin\theta$ 이므로 $t_b$와 $t_a$는 같게 된다.}