테크매니아
Haar Wavelet 본문
Haar 웨이블릿(Haar Wavelet)은 가장 간단하고 기본적인 형태의 웨이블릿 중 하나로, 신호를 저주파 성분과 고주파 성분으로 분해하는 데 사용된다. 이 웨이블릿은 1909년 Alfred Haar에 의해 제안된 기초적인 알고리즘 이다.
Haar 웨이블릿 ψ(t)의 정의는 다음과 같다.
\psi(t) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 \leq t < 0.5 \\
-1 & \text{if } 0.5 \leq t < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}0부터 1 사이에서 값이 1과 -1로 변하며, 그 외의 영역에서는 0인 사각형 모양의 함수이다.
Haar 스케일링 함수 (Scaling Function)
Haar 웨이블릿을 이용하여 신호를 분해할 때 사용하는 스케일링 함수 φ(t)는 다음과 같다
\phi(t) = \begin{cases}
1 & \text{if } 0 \leq t < 1 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}스케일링 함수는 신호의 저주파 성분을 추출하는 데 사용된다.
Haar 웨이블릿 변환
Haar 웨이블릿 변환은 신호를 레벨별로 점진적으로 분해하는 과정으로 각 단계에서 신호를 두 개의 성분으로 나눈다.
• 저주파 성분 (Approximation): 신호의 평균값을 나타내며, 신호의 전반적인 형태를 나타낸다.
• 고주파 성분 (Detail): 신호의 변화율을 나타내며, 신호의 세부 정보를 나타낸다.
이 변환을 반복하면 원래 신호를 다양한 해상도로 분해할 수 있게 된다.
Haar 웨이블릿 변환 과정
예를 들어, 1차원 신호 x = [x1, x2, x3, x4]가 있을 때 Haar Wavelet 변환은 다음과 같다.
- 평균값 계산 (저주파 성분)
(x1 + x2) / 2, (x3 + x4) / 2 - 차이값 계산 (고주파 성분)
(x1 - x2) / 2, (x3 - x4) / 2
변환 결과는 [저주파 성분, 고주파 성분]으로 표현된다.
데이터 [12, 56, 8, 104]가 주어졌을 때 위 변환 과정을 거치면
1단계: 데이터 쌍으로 변환
각 두 데이터 쌍에 대해 저주파 성분 (평균값)과 고주파 성분 (차이값)을 계산
- 평균값:
$\frac{12 + 56}{2} = 34$ - 차이값:
$\frac{12 - 56}{2} = -22$ - 평균값:
$\frac{8 + 104}{2} = 56$ - 차이값:
$\frac{8 - 104}{2} = -48$
1단계 변환 결과: [34, 56, -22, -48]
2단계: 저주파 성분에 대해 다시 변환
1단계 결과의 저주파 성분 [34, 56]에 대해 동일한 방식으로 변환을 수행.
- 평균값:
$ \frac{34 + 56}{2} = 45 $ - 차이값:
$ \frac{34 - 56}{2} = -11 $
최종 변환 결과: [45, -11, -22, -48]
Haar 웨이블릿 변환의 단계별 과정에 대한 상세 설명
Haar 웨이블릿 변환은 주어진 데이터의 저주파 성분과 고주파 성분을 계산하고, 이후 저주파 성분에 대해서만 추가 변환을 수행하는 방식으로 이루어진다. 이를 통해 신호를 점진적으로 분해하여 다양한 해상도로 표현할 수 있다.
1. 초기 신호 분해
주어진 데이터에서 짝을 이루는 각 원소에 대해 평균값(저주파 성분)과 차이값(고주파 성분)을 계산한다. 이렇게 계산된 저주파 성분과 고주파 성분은 각각 신호의 전체적인 특징과 세부 정보를 나타낸다.
2. 저주파 성분에 대한 추가 변환
초기 분해 단계에서 구한 저주파 성분에 대해서만 다시 평균값과 차이값을 계산한다. 이렇게 저주파 성분에 대해 재귀적으로 변환을 수행함으로써, 더 낮은 주파수 대역으로 신호를 계속해서 분해할 수 있다.
3. 고주파 성분은 고정
초기 단계에서 계산된 고주파 성분은 이후 단계에서 더 이상 변환되지 않고 그대로 유지된다. 이는 고주파 성분이 주로 신호의 세부 정보나 노이즈를 포함하고 있기 때문에, 추가적인 분해가 필요하지 않기 때문이다.
장단점
장점
• 간단함: Haar 웨이블릿은 구조가 단순하고 계산이 매우 빠르기 때문에 실시간 처리에 유리하다.
• 변화 감지: Haar 웨이블릿은 신호의 급격한 변화(엣지나 불연속점 등)를 효과적으로 감지할 수 있다.
• 이산 변환: Haar 웨이블릿은 이산 웨이블릿 변환(Discrete Wavelet Transform, DWT)에 적합하다.
단점
• 부드러운 신호 표현 한계: Haar 웨이블릿은 급격한 변화를 잘 표현하지만, 부드럽게 변화하는 신호를 표현하는 데는 한계가 있다.
• 블록 현상 (Block Artifact): Haar 웨이블릿 변환은 신호를 고정된 간격으로 분할하기 때문에, 해상도를 높이면 이미지나 신호에서 블록 현상이 발생할 수 있다.
응용
- 데이터 압축:** Haar 웨이블릿은 이미지 및 비디오 압축 알고리즘(예: JPEG 2000)에서 자주 사용된다.
- 신호 처리: Haar 웨이블릿은 신호 분석, 잡음 제거, 엣지 검출 등에 사용된다.
- 컴퓨터 비전: 물체 검출 및 이미지 분할 등의 작업에서 사용된다.